Analysis Beispiele

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$