Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Schritt 3.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Schritt 3.3.3

Bewege $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Schritt 3.3.4

Bewege $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Schritt 3.3.5

Stelle $y^{2}$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $8 K$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.4

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ als $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ um.

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Schritt 3.6.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Schritt 5

Da $y$ positiv in der Anfangsbedingung $(0, 4)$ ist, betrachte nur $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $4$ für $y$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ um.

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Schritt 6.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ als ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.4.2.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 + 0 + K + 0$ .

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Schritt 6.4.2.1.3.1.1

Addiere $9$ und $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.3.1.2

Addiere $9 + K$ und $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.4.2.1.3.2

Vereinfache.

$9 + K = 1^{2}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 + K = 1$

Schritt 6.5

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 - 9$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$K = - 8$

Schritt 7

Setze $- 8$ für $K$ in $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $- 8$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Schritt 7.2.2

Stelle die Terme um.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$