Analysis Beispiele

$\frac{d C}{d x} = \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d C = \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d C = \int \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Schritt 2.2

Forme um.

$C = \int \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 14 x + 3$ . Dann ist $d u = 14 d x$ , folglich $\frac{1}{14} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 14 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $14 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [14 x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $14 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$14 + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $14$ und $0$ .

$14$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{14} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ mit $\frac{1}{14}$ .

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 14} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u}$ .

$C = 14 \int \frac{1}{14 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{14}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{14}$ aus dem Integral.

$C = 14 (\frac{1}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{14}$ und $14$ .

$C = \frac{14}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C = \frac{14}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$C = 1 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$ mit $1$ .

$C = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$C = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$C = \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C = \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$C = \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $14 x + 3$ .

$C = \frac{3}{2} {(14 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$C = \frac{3}{2} {(14 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + K$