Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cos (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{2}$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = - \cos (x) + K$ ersetzt wird.

$1 = - \cos (\frac{π}{2}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \cos (\frac{π}{2}) + K = 1$ um.

$- \cos (\frac{π}{2}) + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \cos (\frac{π}{2}) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 0 + K = 1$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + K = 1$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $K$ in $y = - \cos (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = - \cos (x) + 1$