Analysis Beispiele

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{d y}{d x} = y + 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} = y + 2$

Schritt 1.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $x + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache $(y + 2) (x + 1)$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Multipliziere $(y + 2) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = y (x + 1) + 2 (x + 1)$

Schritt 1.1.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 (x + 1)$

Schritt 1.1.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{d y}{d x} = x y + y + 2 x + 2$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2.2

Bewege $y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y + 2 x + y + 2$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = (x y + 2 x) + y + 2$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 2) + 1 (y + 2)$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 2} d y = (x + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 2$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y + 2 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ um.

$| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$| y + 2 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C} - 2$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ als $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C} - 2$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$