Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ ersetzt wird.

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ um.

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Schritt 4.2.2

Um $\frac{1}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Schritt 4.2.3

Um $\frac{1}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Schritt 4.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $42$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Schritt 4.2.6

Addiere $7$ und $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{13}{42}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Schritt 4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $13$ von $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Schritt 5

Setze $\frac{71}{42}$ für $K$ in $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{71}{42}$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$