Analysis Beispiele

$d x + (1 - x) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 - x) d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} (1 - x) d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - x} (1 - x) d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 - x}$ und $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| 1 - x |) + C$