Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 8 x^{7} e^{- x^{8}}$ , $y (0) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 8 \int x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} = - 8 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ als ${u_{1}}^{3}$ um.

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Schritt 2.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = - 8 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ als ${u_{1}}^{4}$ um.

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Schritt 2.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{3}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ und $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 2.3.6

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.6.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.6.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 2.3.6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 2.3.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ als ${u_{2}}^{2}$ um.

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Schritt 2.3.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.3

Kombiniere $\frac{u_{2}}{2}$ und $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.10

Sei $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.3.10.1

Es sei $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 2.3.10.1.1

Differenziere $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Schritt 2.3.10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 2.3.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Schritt 2.3.10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Schritt 2.3.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Schritt 2.3.11.2

Kombiniere $e^{u_{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 2.3.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 2.3.14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.15.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.15.3

Mutltipliziere $\int e^{u_{3}} d u_{3}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.16

Das Integral von $e^{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $e^{u_{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.17.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $- {u_{2}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{2}}^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.17.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $8$ für $y$ in $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ ersetzt wird.

$8 = e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$ um.

$e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(0^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- {(0^{2})}^{2 \cdot 2}} + K = 8$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{- {(0^{2})}^{4}} + K = 8$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(0^{2})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 0^{2 \cdot 4}} + K = 8$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$e^{- 0^{8}} + K = 8$

Schritt 4.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{- 0} + K = 8$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0} + K = 8$

Schritt 4.2.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 + K = 8$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 8 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$K = 7$

Schritt 5

Setze $7$ für $K$ in $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $7$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + 7$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2 \cdot 2}} + 7$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{4}} + 7$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- x^{2 \cdot 4}} + 7$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = e^{- x^{8}} + 7$