Analysis Beispiele

$2 y (x^{2} + 1) d x + (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y (x^{2} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(\frac{x^{3}}{3} + x) d y = - 2 y (x^{2} + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y}$ .

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{x^{3}}{3} + x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\frac{x^{3}}{3} + x$ aus $(\frac{x^{3}}{3} + x) y$ heraus.

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) (y)} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{x^{3}}{3} + x$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{x^{3}}{3}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x^{1}) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x \cdot 1) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \frac{x^{2}}{3} + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x (\frac{x^{2}}{3} + 1) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x (\frac{x^{2}}{3} + \frac{3}{3}) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x \frac{x^{2} + 3}{3} y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{x^{2} + 3}{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.3.4.2

Kombiniere $\frac{x (x^{2} + 3)}{3}$ und $y$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{\frac{x (x^{2} + 3) y}{3}} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{y} d y = - 2 (1 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y}) (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.6

Multipliziere $- 2 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ .

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 \cdot 3}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $y$ aus $x (x^{2} + 3) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{y (x (x^{2} + 3))} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{y (x (x^{2} + 3))} (y (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6}{x (x^{2} + 3)} x^{2} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Schritt 3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{x (x^{2} + 3)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} x^{2} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Schritt 3.10.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x \cdot x) - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Schritt 3.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x \cdot x) - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Schritt 3.10.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x^{2} + 3} x - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{- 6}{x^{2} + 3}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Schritt 3.14

Um $- \frac{6 x}{x^{2} + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x}{x^{2} + 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Schritt 3.15

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} + 3) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.15.1

Mutltipliziere $\frac{6 x}{x^{2} + 3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x \cdot x}{(x^{2} + 3) x} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Schritt 3.15.2

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + 3) x$ um.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x \cdot x}{x (x^{2} + 3)} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Schritt 3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6 x \cdot x - 6}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x \cdot x - 6$ heraus.

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Schritt 3.17.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x \cdot x$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x) - 6}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.17.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x) + 6 (- 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.17.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x \cdot x) + 6 (- 1)$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.17.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x \cdot x) - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.17.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x^{2} - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.18

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2}) - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.19

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.20

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.21

Schreibe $- (x^{2} + 1)$ als $- 1 (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- 1 (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 4.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (6 \int \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 3)} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = x (x^{2} + 3)$ . Dann ist $d u = (3 x^{2} + 3) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = x (x^{2} + 3)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3)]$

Schritt 4.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 x + 0) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x (2 x) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 3) \cdot 1$

Schritt 4.3.4.1.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.4.1.9.1

Mutltipliziere $x^{2} + 3$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 3$

Schritt 4.3.4.1.9.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $x (x^{2} + 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x \cdot x^{2} + x \cdot 3 |) = C$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x \cdot x^{2} + x \cdot 3 |) = C$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{1 + 2} + x \cdot 3 |) = C$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + x \cdot 3 |) = C$

Schritt 5.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + 3 x |) = C$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + 3 x |)$ .

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x^{3} + 3 x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{3} + 3 x |}^{2}) = C$

Schritt 5.3.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x^{3} + 3 x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$

Schritt 5.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2})} = e^{C}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}$

Schritt 5.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.6.1

Schreibe die Gleichung als $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ um.

$| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$

Schritt 5.6.2

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ durch ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ durch ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ .

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Schritt 5.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 3 x$ heraus.

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Schritt 5.6.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x \cdot x^{2} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ heraus.

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x (x^{2} + 3))}^{2}}$

Schritt 5.6.2.3.1.2

Wende die Produktregel auf $x (x^{2} + 3)$ an.

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{C}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$