Analysis Beispiele

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $\ln (x^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int u d u$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$