Analysis Beispiele

$x (\frac{d y}{d x}) - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} \cos (4 x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} \cos (4 x)}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $x^{2} \cos (4 x)$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} \cos (4 x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 2}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 2}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cos (4 x)$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (4 x)))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (4 x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (4 x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (4 x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (4 x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 7.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 7.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Schritt 7.6

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (4 x)$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{\sin (4 x)}{4} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\sin (4 x)}{4} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{\sin (4 x)}{4}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.3.1

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$ um.

$y = \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.2

Stelle $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$ und $C x^{2}$ um.

$y = C x^{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$