Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Dann ist $d u_{1} = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $t + \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + \frac{π}{12}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $\frac{π}{12}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{12}$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 2.3.9

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.9.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.9.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 2.3.9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.3.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 2.3.12

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Schritt 2.3.14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Schritt 2.3.14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Schritt 2.3.14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Schritt 2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.3

Kombiniere $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ und $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.4

Wende das Distributivgesetz an.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.15.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.15.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ in den Zähler.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $7$ für $s$ in $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ ersetzt wird.

$7 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$ um.

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.3

Addiere $0$ und $\frac{π}{6}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 7$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} - 1 + K = 7$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1 + K = 7 - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 7 - \frac{π}{3} + 1$

Schritt 4.3.3

Addiere $7$ und $1$ .

$K = 8 - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Setze $8 - \frac{π}{3}$ für $K$ in $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $8 - \frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Schritt 5.4

Addiere $4 t$ und $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$