Analysis Beispiele

$x^{8} + 10 y \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y \frac{d y}{d x} = - x^{8}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y \frac{d y}{d x} = - x^{8}$ durch $10 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y \frac{d y}{d x} = - x^{8}$ durch $10 y$ .

$\frac{10 y \frac{d y}{d x}}{10 y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y \frac{d y}{d x}}{10 y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{8}}{10 y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{8}}{10 y}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $10 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{8}}{y \cdot 10}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{8}}{y \cdot 10}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{8}}{10}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \frac{x^{8}}{10} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{x^{8}}{10} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{8}}{10} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{8}}{10} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{10} \int x^{8} d x)$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{10} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{1}{10} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$ als $- \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{9 \cdot 10} x^{9} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{90} x^{9} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{90} x^{9} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{9}$ und $\frac{1}{90}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{9}}{90} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{9}}{90}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{9}}{90}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{9}}{90} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $90$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{9}}{2 (45)} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{9}}{2 \cdot 45} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{- x^{9}}{45} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{x^{9}}{45} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{45}{45}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + 2 K \cdot \frac{45}{45}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $2 K$ und $\frac{45}{45}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + \frac{2 K \cdot 45}{45}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{9} + 2 K \cdot 45}{45}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $45$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{9} + 90 K}{45}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\frac{- x^{9} + 90 K}{45}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{- x^{9} + 90 K}{5}$ um.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- x^{9} + 90 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{9} + 90 K)}{45}}$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $45$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{9} + 90 K)}{3^{2} \cdot 5}}$

Schritt 3.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- x^{9} + 90 K)}{3^{2} \cdot 5}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{- x^{9} + 90 K}{5}}$

Schritt 3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{- x^{9} + 90 K}{5}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{- x^{9} + 90 K}{5}}$ als $\frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.4.8

Kombinieren.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $\sqrt{- x^{9} + 90 K}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.11.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 3.4.11.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Schritt 3.4.11.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Schritt 3.4.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.11.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.4.11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{1}}$

Schritt 3.4.11.7.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Schritt 3.4.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{9} + 90 K) \cdot 5}}{3 \cdot 5}$

Schritt 3.4.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.13.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{9} + 90 K) \cdot 5}}{15}$

Schritt 3.4.13.2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- x^{9} + 90 K) \cdot 5}}{15}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + K)}}{15}$