Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{x - y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{x - y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 3

Ersetze $e^{x - y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ mit $- v$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ mit $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2.1.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- v$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1

Bewege $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Schritt 6

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $v^{2}$ ist.

$v = v^{- 1}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $v$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 8

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 9

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 9.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 9.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 10

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d v}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $v$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 11

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 11.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 11.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.2.1.5.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.8

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 11.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.3.2

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.3.2.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.3

Vereinfache $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.4

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 11.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Schritt 11.1.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Schritt 11.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 11.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 11.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 11.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 11.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 11.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Schritt 11.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ um.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Schritt 11.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Schritt 11.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Schritt 11.6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Schritt 11.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 11.7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Schritt 11.7.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Schritt 11.7.3

Vereinfache.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Schritt 11.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 11.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 11.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 11.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 11.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 11.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 11.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 11.8.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 11.8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 11.8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 11.8.3.1.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 12

Ersetze $v$ durch $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 13

Ersetze alle $v$ durch $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 14

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 14.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Schritt 14.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 14.2.1

Zerlege $\ln (e^{- x + y})$ durch Herausziehen von $- x + y$ aus dem Logarithmus.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Schritt 14.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $- x + y$ mit $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Schritt 14.3

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$