Analysis Beispiele

$\frac{d f}{d x} = \frac{4 x + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x + x f^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x f^{2}$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (f^{2})}{f - x^{2} f}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 + x (f^{2})$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $4 + f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $f$ aus $f - x^{2} f$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Potenziere $f$ mit $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f^{1} - x^{2} f}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $f$ aus $f^{1}$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 - x^{2} f}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $f$ aus $- x^{2} f$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 + f (- x^{2})}$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $f$ aus $f \cdot 1 + f (- x^{2})$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot (1 - x^{2})}$

Schritt 1.2.1.5

Mutltipliziere $f$ mit $1 - x^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 - x^{2})}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Schritt 1.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{f}{4 + f^{2}}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ mit $\frac{4 + f^{2}}{f}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x) f}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $f$ aus $(1 + x) (1 - x) f$ heraus.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + f^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $4 + f^{2}$ aus $x (4 + f^{2})$ heraus.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{f}{4 + f^{2}} d f = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{f}{4 + f^{2}} d f = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 f d f$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = f d f$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d f}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $4 + f^{2}$ .

$\frac{d}{d f} [4 + f^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + f^{2}$ nach $f$ $\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$ .

$\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $f$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $f$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d f} [f^{n}]$ gleich $n f^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 f$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 f$ .

$2 f$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 + f^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6.3

Schreibe $- 1 (1 + x)$ als $- (1 + x)$ um.

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.11

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- x + 0 - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2.3

Addiere $- x$ und $0$ .

$- x - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2.4

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- 2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $f$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 4 + f^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombiniere $\ln (| 1 - x^{2} |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 4 + f^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + f^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Schritt 3.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (4 + f^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.6

Multipliziere $(4 + f^{2}) (1 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $f^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 3.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$

Schritt 3.8

Um nach $f$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |$

Schritt 3.10

Löse nach $f$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ um.

$| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Schritt 3.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Schritt 3.10.3

Bringe alle Terme, die nicht $f$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Schritt 3.10.3.2

Addiere $4 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.4

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{2} - f^{2} x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$f^{2} \cdot 1 - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.4.2

Faktorisiere $f^{2}$ aus $- f^{2} x^{2}$ heraus.

$f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.4.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2})$ heraus.

$f^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.6

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Schritt 3.10.7

Teile jeden Ausdruck in $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ durch $(1 + x) (1 - x)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.1

Teile jeden Ausdruck in $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ durch $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.7.2.2.2

Dividiere $f^{2}$ durch $1$ .

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9.3

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ als $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ um.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.9.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9.5.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3.10.9.5.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Schritt 3.10.9.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.10.9.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Schritt 3.10.9.5.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.9.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.10.9.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.10.9.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.10.9.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.9.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.10.9.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Schritt 3.10.9.5.6.5

Vereinfache.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.9.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$f = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$