Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $t$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Schritt 1.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Schritt 1.3

Sei $u_{1} = 3 t$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.3.1

Es sei $u_{1} = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 1.3.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Schritt 1.4

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Schritt 1.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Schritt 1.6

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Schritt 1.7

Sei $u_{2} = 3 t$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Es sei $u_{2} = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 1.7.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 1.7.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 1.8

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 1.9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 1.10

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Schritt 1.11

Vereinfache.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Schritt 1.12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 1.12.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Schritt 1.12.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Schritt 1.13

Stelle die Terme um.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- \frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.3

Sei $u_{3} = 3 t$ . Dann ist $d u_{3} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Es sei $u_{3} = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 3.3.3.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\cos (u_{3})$ und $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.7

Das Integral von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.9

Sei $u_{4} = 3 t$ . Dann ist $d u_{4} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{4}$ und $d$ $u_{4}$ .

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Schritt 3.3.9.1

Es sei $u_{4} = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

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Schritt 3.3.9.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 3.3.9.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 3.3.9.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3.3.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{4}$ und $d u_{4}$ neu.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $\sin (u_{4})$ und $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.11

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{4}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.3.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.13

Das Integral von $\sin (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Schritt 3.3.14

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Schritt 3.3.15

Vereinfache.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Schritt 3.3.16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 3.3.16.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Schritt 3.3.16.2

Ersetze alle $u_{4}$ durch $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Schritt 3.3.17

Stelle die Terme um.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$