Analysis Beispiele

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(x - y) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (x - y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (x - y)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $\frac{d}{d y} [y]$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 1$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 = 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Schritt 6

Integriere $M (x, y) = - (x - y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Schritt 6.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Schritt 6.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Schritt 9.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} - y x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.4

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y x$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.7

Subtrahiere $x$ von $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

Schritt 10.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + y - x$ .

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Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Schritt 11.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.3

Multipliziere $- (- y x)$ .

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$