Analysis Beispiele

$(x + y) d y - y d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- y d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 1 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- y$ .

$\frac{1 + 1}{- y}$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{- y}$

Schritt 5.3.3

Ersetze $M$ durch $- y$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- y d x + (x + y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- y \frac{1}{y^{2}} d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \cdot - 1 \frac{1}{y^{2}} d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $x + y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x + y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x + y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x}{y} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x + y}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.6.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $\frac{1}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 14.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$