Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$ , $y (3) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y - 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $e^{y - 1}$ aus ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ heraus.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y - 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = x + 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ als $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ um.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y - 1})$ durch Herausziehen von $y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y - 1$ mit $1$ .

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ in zwei Brüche.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ in zwei Brüche.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Schritt 3.3.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Schritt 3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ ersetzt wird.

$1 = \ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$ um.

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 1 - 1$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$

Schritt 6.3

Um nach $K$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})} = e^{0}$

Schritt 6.4

Schreibe $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$

Schritt 6.5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$ um.

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$ .

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Schritt 6.5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 + K \cdot 3 + K}{3 + 2} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$\frac{- 5 + 3 K + K}{3 + 2} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.5.2.3.1

Addiere $3 K$ und $K$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{3 + 2} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.3.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{5} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.3.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- 1 (5) + 4 K}{5} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $4 K$ heraus.

$\frac{- 1 (5) - (- 4 K)}{5} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 4 K)$ heraus.

$\frac{- 1 (5 - 4 K)}{5} = e^{0}$

Schritt 6.5.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 - 4 K}{5} = e^{0}$

Schritt 6.5.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{5 - 4 K}{5} = 1$

Schritt 6.5.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 5$ .

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5}) = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.5.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.5.1.1

Vereinfache $- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5})$ .

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Schritt 6.5.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.5.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 - 4 K}{5}$ in den Zähler.

$- 5 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5.1.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$5 (- 1) \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot - 1 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.5.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $5 - 4 K$ mit $1$ .

$5 - 4 K = - 5 \cdot 1$

Schritt 6.5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.5.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 - 4 K = - 5$

Schritt 6.5.6

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.6.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 K = - 5 - 5$

Schritt 6.5.6.2

Subtrahiere $5$ von $- 5$ .

$- 4 K = - 10$

Schritt 6.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- 4 K = - 10$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 K = - 10$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Schritt 6.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Schritt 6.5.7.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{- 10}{- 4}$

Schritt 6.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $- 4$ .

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Schritt 6.5.7.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10$ heraus.

$K = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Schritt 6.5.7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.7.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$K = \frac{5}{2}$

Schritt 7

Setze $\frac{5}{2}$ für $K$ in $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $\frac{5}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5}{2} x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5 x}{2}}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5 x}{2}$ mit $\frac{1}{x + 2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.2

Um $- \frac{5}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x + 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.3.2

Stelle die Faktoren von $(x + 2) \cdot 2$ um.

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 2)} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \ln (\frac{- 5 \cdot 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.6

Faktorisiere $5$ aus $- 10 + 5 x$ heraus.

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Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.6.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot - 2 + 5 x$ heraus.

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Schritt 7.2.7

Um $\frac{K}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Schritt 7.2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (x + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{K}{x + 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2}) + 1$

Schritt 7.2.8.2

Stelle die Faktoren von $(x + 2) \cdot 2$ um.

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Schritt 7.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x) + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Schritt 7.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Schritt 7.2.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Schritt 7.2.10.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + 2 K}{2 (x + 2)}) + 1$