Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 8 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 5 x$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 5 x d x}$

Schritt 1.2

Integriere $5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{5 \int x d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Schreibe $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (8 x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (8 x)$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ um.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6.2

Sei $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Es sei $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Differenziere $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

Schritt 6.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Schritt 6.2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Schritt 6.2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 6.2.1.3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

Schritt 6.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 6.2.1.3.4.3

Kombiniere $\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 6.2.1.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ heraus.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

Schritt 6.2.1.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Schritt 6.2.1.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.1.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

Schritt 6.2.1.3.4.4.2.4

Dividiere $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ durch $1$ .

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Schritt 6.2.1.3.4.5

Stelle die Faktoren in $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ um.

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

Schritt 6.4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Schreibe $8 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ als $8 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ um.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} u_{2} + C$

Schritt 6.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

Schritt 6.4.4

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ durch $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ durch $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ und $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ aus $\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ durch $1$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ heraus.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = \frac{8}{5} e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{8}{5} \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.3.1.6

Mutltipliziere $\frac{8}{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$