Analysis Beispiele

$2 y - x \frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$- x \frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x^{3}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x^{3}$ durch $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Schritt 1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{x (2 x^{2})}{- x}$

Schritt 1.5.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = - 1 \cdot (2 x^{2})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = - 2 \cdot x^{2}$

Schritt 1.7

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{- x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{- x} = - 2 \cdot x^{2}$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $\frac{2}{- x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{- x} y = - 2 \cdot x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{- x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{- x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{- x}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{- x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{- x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = - 2 \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = - 2$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = - 2$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int - 2 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int - 2 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x^{2}} y = - 2 x + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = - 2 x + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- 2 x + C) x^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- 2 x + C) x^{2}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- 2 x + C) x^{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(- 2 x + C) x^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 2 x \cdot x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = - 2 (x^{2} x) + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.3.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - 2 (x^{2} x^{1}) + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - 2 x^{2 + 1} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = - 2 x^{3} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.3

Stelle $- 2 x^{3}$ und $C x^{2}$ um.

$y = C x^{2} - 2 x^{3}$