Analysis Beispiele

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 5$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 5 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{5 t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{5 t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{5 t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

Schritt 2.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ um.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

Schritt 6.2

Sei $u = 5 t$ . Dann ist $d u = 5 d t$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 5 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Schritt 6.2.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $5 t$ .

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ durch $e^{5 t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ durch $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{5 t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $I$ durch $1$ .

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{5 t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$