Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = x + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = x + \ln (| x |) + C$ ersetzt wird.

$4 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \ln (| 1 |) + C = 4$ um.

$1 + \ln (| 1 |) + C = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 4$

Schritt 4.2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$1 + 0 + C = 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + C = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 4 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$C = 3$

Schritt 5

Setze $3$ für $C$ in $y = x + \ln (| x |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$y = x + \ln (| x |) + 3$