Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 10 t + \cos (t)$ , $s (0) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = (10 t + \cos (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 10 t + \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 10 t + \cos (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = \int 10 t d t + \int \cos (t) d t$

Schritt 2.3.2

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 10 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\cos (t)$ nach $t$ ist $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 10 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$s + C_{1} = 5 t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = 5 t^{2} + \sin (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $5$ für $s$ in $s = 5 t^{2} + \sin (t) + K$ ersetzt wird.

$5 = 5 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $5 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 5$ um.

$5 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $5 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cdot 0 + \sin (0) + K = 5$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 + \sin (0) + K = 5$

Schritt 4.2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + 0 + K = 5$

Schritt 4.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = 5$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 5$

Schritt 5

Setze $5$ für $K$ in $s = 5 t^{2} + \sin (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $5$ .

$s = 5 t^{2} + \sin (t) + 5$