Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x + 3 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x + 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x + 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = x^{2} + 1 x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.6

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{3} + x^{2} + K$