Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (x) = 4 t + K$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (4 t + K)$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{4}$ für $t$ und $1$ für $x$ in $x = \tan (4 t + K)$ ersetzt wird.

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ um.

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Schritt 5.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $K$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Schritt 5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$π + K = \arctan (1)$

Schritt 5.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Schritt 5.5

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = \frac{π}{4} - π$

Schritt 5.5.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Schritt 5.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Schritt 5.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Schritt 5.5.5.2

Subtrahiere $4 π$ von $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Schritt 5.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5.7

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.7.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.7.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.7.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.7.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.7.2.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Schritt 5.7.2.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.7.2.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Schritt 5.7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Schritt 5.7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Schritt 5.7.2.5.2

Subtrahiere $4 π$ von $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Schritt 5.8

Ermittele die Periode von $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

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Schritt 5.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.8.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.9

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.9.1

Addiere $π$ zu $- \frac{3 π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Schritt 5.9.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.9.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 5.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.9.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Schritt 5.9.4.2

Subtrahiere $3 π$ von $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 5.9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$K = \frac{π}{4}$

Schritt 5.10

Die Periode der Funktion $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Schritt 6

Setze $\frac{π}{4} + π n$ für $K$ in $x = \tan (4 t + K)$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$