Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$