Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = a x + b$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int a x + b d x}$

Schritt 1.2

Integriere $a x + b$ .

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Schritt 1.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Schritt 1.2.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Schritt 1.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{a}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ mit $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ um.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ durch $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ durch $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1.1

Um $b x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $b x$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Schritt 7.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $a x^{2} + b x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 7.3.1.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $a x^{2}$ heraus.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $b x \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (a x) + x (b \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$