Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Schritt 2.3.6.3

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ ersetzt wird.

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ um.

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Schritt 4.2.7

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Schritt 4.2.8

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Schritt 4.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Schritt 4.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Schritt 4.2.10.2

Addiere $- 2$ und $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{7}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $7$ von $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{5}{3}$ für $K$ in $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{5}{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$