Analysis Beispiele

$4 x + \frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12 - 4 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (36 x^{5} + 12 - 4 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Schritt 2.3.2

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $36$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 36 \int x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 \int x d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 4 \frac{x^{2}}{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C_{5}$

Schritt 2.3.8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C_{5}$

Schritt 2.3.8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C_{5}$

Schritt 2.3.8.3.2.2.4

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 2 x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + K$