Analysis Beispiele

$(x^{2} + 3) \frac{d y}{d x} - x = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} - x = 0$

Schritt 1.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $3 \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3 = x$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ durch $x^{2} + 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ durch $x^{2} + 3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x^{2} + 3$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x^{2} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$