Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ mit $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ mit $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.2

Potenziere $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.3

Potenziere $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ als $(2 + y) (2 - y)$ um.

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Schritt 1.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ als ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Schritt 1.2.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

Schritt 1.2.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

Schritt 1.2.8

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ .

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Schritt 1.2.8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.8.2

Kombiniere $\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ und $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.8.3

Potenziere $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.8.4

Potenziere $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1

Schreibe ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ als $(2 + y) (2 - y)$ um.

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Schritt 1.2.9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ als ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.1.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.2

Multipliziere $(2 + y) (2 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.9.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.9.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.2

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.3.3

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.9.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + y$ .

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Schritt 1.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Schritt 1.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Schritt 1.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - y$ .

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Schritt 1.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Schritt 1.2.11.2

Dividiere $x \cdot 2$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

Schritt 1.2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ nach $y$ ist $\arcsin (\frac{y}{2})$

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ als $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ um.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$