Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$x d x = 9 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int x d x = \int 9 d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (9 t + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $18 t + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18 t$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 t) + 2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Schritt 4

Da $x$ positiv in der Anfangsbedingung $(0, 9)$ ist, betrachte nur $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $t$ und $9$ für $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ um.

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ als ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Addiere $0$ und $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Schritt 5.3.2.1.4

Vereinfache.

$2 K = 9^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$2 K = 81$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 81$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 81$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Schritt 6

Setze $\frac{81}{2}$ für $K$ in $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $9$ aus $9 t + \frac{81}{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 t$ heraus.

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $9$ aus $\frac{81}{2}$ heraus.

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $9$ aus $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ heraus.

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Schritt 6.4

Um $t$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Schritt 6.5

Kombiniere $t$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Schritt 6.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Schritt 6.8

Kombiniere $18$ und $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Schritt 6.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.9.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18 (2 t + 9)$ heraus.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Schritt 6.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Schritt 6.9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Schritt 6.9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Schritt 6.9.2

Dividiere $9 (2 t + 9)$ durch $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Schritt 6.10

Schreibe $9 (2 t + 9)$ als $3^{2} (2 t + 3^{2})$ um.

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Schritt 6.10.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Schritt 6.10.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Schritt 6.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Schritt 6.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$