Analysis Beispiele

$\frac{d P}{d t} = P$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} P$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $P$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} P$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{P} d P = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{P} d P = \int d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{P}$ nach $P$ ist $\ln (| P |)$ .

$\ln (| P |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| P |) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| P |) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $P$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um nach $P$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| P |)} = e^{t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| P |) = t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = | P |$

Schritt 3.3

Löse nach $P$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| P | = e^{t + C}$ um.

$| P | = e^{t + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$P = \pm e^{t + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $e^{t + C}$ als $e^{t} e^{C}$ um.

$P = \pm e^{t} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{t}$ und $e^{C}$ um.

$P = \pm e^{C} e^{t}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$P = C e^{t}$