Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{y \frac{1}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.8

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - 1}$

Schritt 1.10

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{\frac{y}{x} - 1}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1} - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{1 + V^{2}}{V - 1}$ in zwei Brüche.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} - V$

Schritt 6.1.1.1.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.1.1.1.3.1

Schreibe $- V$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1}$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{- V}{1}$ mit $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{- V}{1}$ mit $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V (V - 1)}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V (V - 1)}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot V - V \cdot - 1}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.5.2

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.5.2.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - (V \cdot V) - V \cdot - 1}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.5.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} - V \cdot - 1}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.5.3

Multipliziere $- V \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.1.1.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + 1 V}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.5.3.2

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + V}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + V^{2} - V^{2} + V$ .

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Schritt 6.1.1.1.6.1

Subtrahiere $V^{2}$ von $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 0 + V}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.6.2

Addiere $1$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.1.7

Zerlege den Bruch $\frac{1 + V}{V - 1}$ in zwei Brüche.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V}{V - 1}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{1 + V}{V - 1}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Schritt 6.1.1.2.3.5

Stelle die Faktoren in $\frac{1 + V}{(V - 1) x}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{x (V - 1)}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V - 1}{1 + V}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} (\frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 + V}{V - 1}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V - 1$ .

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $V - 1$ aus $(V - 1) x$ heraus.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V - 1}{1 + V} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V - 1}{1 + V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Stelle $1$ und $V$ um.

$\int \frac{V - 1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $V - 1$ durch $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$V$

$1$

$V$

$1$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $V$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $V$ .

					$1$
	$V$	+	$1$		$V$	-	$1$

Schritt 6.2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$1$

Schritt 6.2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $V + 1$

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$

Schritt 6.2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$
					-	$2$

Schritt 6.2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d V + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$V + C_{1} + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V + C_{1} - \int \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$V + C_{1} - (2 \int \frac{1}{V + 1} d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Sei $u = V + 1$ . Dann ist $d u = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.8.1

Es sei $u = V + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.8.1.1

Differenziere $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.8.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$V + C_{1} - 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Vereinfache.

$V - 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.11

Ersetze alle $u$ durch $V + 1$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$V - 2 \ln (| V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Schritt 8.2.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Schritt 8.3

Stelle $- \frac{y}{x}$ und $C$ um.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = C - \frac{y}{x}$

Schritt 8.4

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.4.1

Addiere $\frac{y}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) + \frac{y}{x} = C$

Schritt 8.4.2

Um $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.4.3

Kombiniere $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln ({(\frac{y + x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.4.5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{y + x}{x}$ an.

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.4.6

Um $- \ln (| x |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) \cdot \frac{x}{x} = C$

Schritt 8.4.7

Kombiniere $- \ln (| x |)$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} + \frac{- \ln (| x |) x}{x} = C$

Schritt 8.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Schritt 8.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x$ heraus.

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Schritt 8.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Schritt 8.4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Schritt 8.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| x |) x$ heraus.

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)}{x} = C$

Schritt 8.4.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)$ heraus.

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Schritt 8.4.14

Schreibe $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ als $- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ um.

$\frac{- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Schritt 8.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x} = C$

Schritt 8.4.16

Stelle die Faktoren in $- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x}$ um.

$- \frac{x \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) - y + x \ln (| x |)}{x} = C$