Analysis Beispiele

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Schritt 2.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ nach $t$ ist $arcsec (| t |)$

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $t$ und $0$ für $v$ in $v = 3 arcsec (| t |) + K$ ersetzt wird.

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ um.

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$π + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - π$

Schritt 5

Setze $- π$ für $K$ in $v = 3 arcsec (| t |) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- π$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$