Analysis Beispiele

$3 x d y - 4 y d x = 0$

Schritt 1

Addiere $4 y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x d y = 4 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache $- 4 \ln (| x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ um.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{4}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} x^{4}$ um.

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ .

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Schritt 5.5.4.2.1

Schreibe $x^{4} e^{C}$ als $x^{3} (x e^{C})$ um.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Füge Klammern hinzu.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

Schritt 5.5.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Schritt 5.5.4.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$