Analysis Beispiele

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{4}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3} y^{3}$ nach $x$ gleich $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $12 y^{3} x^{2}$ von $6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 y^{3} x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ heraus.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x y$ aus $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x y$ aus $3 x^{2} y^{4}$ heraus.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ heraus.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 y^{3} x - 2$ und $3 x y^{3} + 2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{3} x$ heraus.

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.5.4

Schreibe $- (3 y^{3} x + 2)$ als $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ um.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Schritt 4.3.5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Schritt 4.3.5.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.7

Ersetze $M$ durch $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x y$ aus $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $x y$ aus $3 x^{2} y^{4}$ heraus.

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $x y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ heraus.

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (3 x y^{3} + 2)$ heraus.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3} y^{3}$ heraus.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

Schritt 8.2

Multipliziere $x (3 x y^{3} + 2)$ aus.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

Schritt 8.2.2

Versetze die Klammern.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

Schritt 8.2.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Schritt 8.2.4

Stelle $x$ und $3$ um.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Schritt 8.2.5

Stelle $x$ und $2$ um.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

Schritt 8.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

Schritt 8.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

Schritt 8.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

Schritt 8.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

Schritt 8.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

Schritt 8.4

Da $3 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

Schritt 8.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

Schritt 8.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 8.8

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ .

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Schritt 11.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = \frac{1}{y}$ und $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x^{3} + x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.5

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.6

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.9

Addiere $3 x^{3} y^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.11

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.12

Kombiniere $\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ und $y^{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.13

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 11.3.14.1

Faktorisiere $y$ aus $3 x^{3} y^{2}$ heraus.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.14.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.14.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.14.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.14.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.14.2.5

Dividiere $3 x^{3} y$ durch $1$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.3.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 11.5.3.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{3} y^{3}$ heraus.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.5.3.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.3.2.4

Dividiere $x^{3} y$ durch $1$ .

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3.5

Subtrahiere $x^{3} y$ von $3 x^{3} y$ .

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.3

Multipliziere $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 12.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ .

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Schritt 12.1.4.1

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $- 2 x^{3} y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 2 x^{3} y^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

Schritt 12.1.5.2.4

Dividiere $- 2 x^{3} y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

Schritt 12.1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ .

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Schritt 12.1.6.1

Subtrahiere $2 x^{3} y$ von $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Schritt 12.1.6.2

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

Schritt 15.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y^{3} x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y^{3} x^{3}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

Schritt 15.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

Schritt 15.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$