Analysis Beispiele

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sec (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

Schritt 3.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $- \cos (x) x$ um.

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

Schritt 4.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

Schritt 4.3.4

Schreibe $- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ als $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ um.

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ um.

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $x \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.2

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x \sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (x \sin (x))$ als $- (x \sin (x))$ um.

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.4.3.1.6

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

Schritt 5.5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

Schritt 5.6

Schreibe die Gleichung als $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ um.

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Schritt 5.7

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $\cos (y)$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Schritt 5.8

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (y)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.8.1

Addiere $x \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Schritt 5.8.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Schritt 5.9

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Schritt 5.10

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Schritt 5.11

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $\cos (y)$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Schritt 5.12

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (y)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.12.1

Addiere $x \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Schritt 5.12.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Schritt 5.13

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$