Analysis Beispiele

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $15 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2} y^{2}$ nach $y$ gleich $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{4}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $10 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{3} y$ nach $x$ gleich $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x y^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Schritt 2.5

Da $- 5 y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Schritt 5.2

Da $15 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $5 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2} x^{3}$ nach $y$ gleich $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{4} x$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $10 x^{3} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Schritt 9.1.2

Addiere $4 y^{3} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $10 x^{3} y$ von $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $- 4 x y^{3}$ und $4 y^{3} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- 4 y^{3} x$ und $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Schritt 9.1.3.5

Addiere $- 5 y^{4}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- 5 y^{4}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Schritt 10.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ als $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ um.

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$