Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 x y - 5 x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x y - 5 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (6 y) - 5 x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (6 y) + x \cdot - 5$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (6 y) + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (6 y - 5)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{6 y - 5}$ .

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 y - 5} (x (6 y - 5))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 y - 5$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $6 y - 5$ aus $x (6 y - 5)$ heraus.

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 y - 5} ((6 y - 5) x)$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 y - 5} ((6 y - 5) x)$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{6 y - 5} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{6 y - 5} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 6 y - 5$ . Dann ist $d u = 6 d y$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 6 y - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $6 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [6 y - 5]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 y - 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [6 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [6 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ nach $y$ gleich $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $6 y - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 (\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |)) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $6 (\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $\ln (| 6 y - 5 |)$ .

$6 \frac{\ln (| 6 y - 5 |)}{6} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{\ln (| 6 y - 5 |)}{6} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 6 y - 5 |) = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 6 \frac{x^{2}}{2} + 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 2 (3) \frac{x^{2}}{2} + 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 2 \cdot 3 \frac{x^{2}}{2} + 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 3 x^{2} + 6 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 6 y - 5 |)} = e^{3 x^{2} + 6 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 6 y - 5 |) = 3 x^{2} + 6 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + 6 C} = | 6 y - 5 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 6 y - 5 | = e^{3 x^{2} + 6 C}$ um.

$| 6 y - 5 | = e^{3 x^{2} + 6 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$6 y - 5 = \pm e^{3 x^{2} + 6 C}$

Schritt 3.5.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = \pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C}}{6} + \frac{5}{6}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C}}{6} + \frac{5}{6}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C}}{6} + \frac{5}{6}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5}{6}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + C} + 5}{6}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{3 x^{2} + C}$ als $e^{3 x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2}} e^{C} + 5}{6}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{3 x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x^{2}} + 5}{6}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{3 x^{2}} + 5}{6}$