Analysis Beispiele

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{- y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

Schritt 1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x e^{- y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Schritt 2.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- e^{- y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{- y}$ nach $x$ gleich $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $e^{- y}$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- e^{- y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- e^{- y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- e^{- y} = - e^{- y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = e^{- y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{- y} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 8.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.3.7

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $x e^{- y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- x e^{- y}$ und $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Schritt 10.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ um.

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$