Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y t^{2} - 1.1 y$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y t^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 1.1 y$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1.1$ als ${1.04880884}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Schritt 1.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Schritt 1.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Schritt 1.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Schritt 1.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

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Schritt 1.3.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $t \cdot - 1.04880884$ und $1.04880884 t$ neu an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $- 1.04880884 t$ und $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Schritt 1.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $1.04880884$ mit $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

Schritt 1.3.5

Addiere $t^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ als $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$