Analysis Beispiele

$\frac{d f}{d x} = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d f = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d f = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$f + C_{1} = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 5 \int x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 5 x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 10 x d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 5 x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $10 x$ und $0$ .

$10 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f + C_{1} = 5 \int \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{10}$ .

$f + C_{1} = 5 \int \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 5 (\frac{1}{10} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{10} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f + C_{1} = \frac{5 (1)}{10} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $2$ für $f$ in $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ ersetzt wird.

$2 = \frac{1}{3} {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$ um.

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Schritt 4.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Schritt 4.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 2$

Schritt 4.2.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + K = 2$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{8}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - \frac{8}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{2 \cdot 3 - 8}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$K = \frac{6 - 8}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $8$ von $6$ .

$K = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Setze $- \frac{2}{3}$ für $K$ in $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 2}{3}$