Analysis Beispiele

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x e^{3 y} + e^{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{3 y}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.4

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Addiere $6 x e^{3 y}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Faktoren von $6 x e^{3 y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $6 e^{3 y} x$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $3 e^{3 y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} e^{3 y}$ nach $x$ gleich $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Addiere $6 e^{3 y} x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren in $6 e^{3 y} x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $6 x e^{3 y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 x e^{3 y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 5.2

Da $2 e^{3 y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 e^{3 y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

Schritt 5.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{3 y} x^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.4

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Addiere $3 x^{2} e^{3 y}$ und $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 8.6.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $3 x^{2} e^{3 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $3 x^{2} e^{3 y}$ von $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $- y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 10.5

Schreibe $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ um.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ um.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$