Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.8

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - 4 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x + C_{6}$

Schritt 2.3.9.2

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + K$