Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y - y$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Schritt 1.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Schritt 1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $y$ aus $(x^{2} - 1) y$ heraus.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Schritt 1.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Schritt 1.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $3$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ ersetzt wird.

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ um.

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{3}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.3

Vereinfache $1 + \ln (| 1 |)$ .

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Schritt 4.3.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$6 + C = 1$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 - 6$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$C = - 5$

Schritt 5

Setze $- 5$ für $C$ in $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $- 5$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$