Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{4}$ aus $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 4}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{5}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$