Analysis Beispiele

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 y}$ und $e^{3 x}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{2 y}$ heraus.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.1.2.4

Dividiere $e^{2 y - 3 x}$ durch $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $e^{3 x + 3 y}$ mit $e^{2 y - 3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $3 y + 2 y$ und $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.2.3

Addiere $3 y$ und $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{3 y}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $e^{3 y}$ aus $e^{2 x}$ heraus.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $e^{2 x - 3 y}$ durch $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Schritt 3.5

Multipliziere $e^{3 x + 3 y}$ mit $e^{2 x - 3 y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Bewege $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Schritt 3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Schritt 3.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

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Schritt 3.5.3.1

Addiere $- 3 y$ und $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Schritt 3.5.3.2

Addiere $2 x + 3 x$ und $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Schritt 3.5.4

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 5 y$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d y$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 5 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 4.2.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = 5 x$ . Dann ist $d u_{2} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.3.2.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kombiniere $e^{5 x}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Schritt 5.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{5 x}}{5}$ in den Zähler.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Schritt 5.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 5.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.4.1

Zerlege $\ln (e^{5 y})$ durch Herausziehen von $5 y$ aus dem Logarithmus.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 5.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$