Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $15$ für $y$ in $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ ersetzt wird.

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ um.

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Schritt 4.2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

Schritt 4.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = 15$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 15$

Schritt 5

Setze $15$ für $K$ in $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $15$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$